חידת חשבון מס' 10 - מאת: אילן בן ארי, אשקלון

חידת הכפתורים:

קניתי 100 כפתורים ב100 ש'ח.
- יש כפתורים שעולים 10 שקלים כל כפתור,
- יש כפתורים שעולים 3 שקלים כל כפתור,
- ויש פתורים שעולים 1/2 שקל כפתור.
קניתי כפתורים מכל שלושת הסוגים.

כמה כפתורים מכל סוג קניתי ?

פתרון החידה: 

הסברים: 

מאחר ויש שלושה נעלמים אבל רק עם שתי משוואות, הדרך לפתרון היא אמפירית - לוגית ולכן יש מספר דרכים להגיע לפתרון. כאן אנחנו מציגים שתיים, אבל יש עוד. אם מישהו מהקוראים מעוניין להציע פתרון נוסף, נא לשלוח אל yoraml1412@gmail.com 

אפשרות א'

א. נניח שכל ה 100 כפתורים הם של 0.5 ש"ח. 100 כפול 0.5 = 50 ש"ח. ז"א חסרים עוד 50 ש"ח
ב. נניח שכל ה 50 ש"ח החסרים נוצרים מהכפתורים של 10 ש"ח אז צריך 5 כפתורים: 5 כפול 10 = 50 ש"ח. 
ג. אבל בגלל שהדרישה היא שיש להשתמש בכל סוגי הכפתורים, צריך להשתמש לפחות באחד של 3 ש"ח. נציב כפתור אחד של 3 ש"ח בתוך ה 50 שבסעיף (א), לכן ישארו שם רק 49 כפתורים שאחד מהם הוא 3 ש"ח, ובמקום 50 ש"ח שהיו קודם נשארו 47 ש"ח, שאותם צריך להשלים באמצעות כפתורים של 0.5 ש"ח. זאת אומרת צריך 94 כפתורים של 0.5 ש"ח: 94 כפול 0.5 = 47 ש"ח. וכך מגיעים לכמות של 100 כפתורים ב 100 ש"ח

אפשרות ב'

לכאורה יש המון פתרונות, אבל אפשר לצמצם אפשרויות.
נתחיל בתובנה ראשונה שאי אפשר לקנות מספר אי-זוגי של כפתורים של חצי שקל היות והסכום צריך להיות מספר שלם: 100 ₪.
תובנה שניה, אי אפשר לקנות יותר מ9 כפתורים של 10 ₪, היות ואנחנו חייבים שהפתרון יכלול את כל סוגי הכפתורים.
בפתרון זה, נתעלם בשלב ראשון מהכפתורים של 3 שח ושל ה10 ₪.
נניח הנחה נוספת שהסכום הסופי שיתקבל מהכפתורים של ה 0.5 ₪, יהיה מעל 45 ₪. ומאחר וסכום חייב להיות זוגי, האפשרויות הן: 90 או 92 או 94 או 96 או 98 כפתורים. הנחה סבירה היא שהכמות צריכה להיות 92 או 94 או 96

וכך מכל המון האפשרויות עם קצת חשיבה  צמצמנו ל 3 בלבד. ומכאן בתהליך נוסף של ניסוי ותעיה אפשר להגיע לפתרון.

אפשרות ג'

להלן פתרון יפה של יוסי נוי, מתנדב העמותה בגבעתיים.

הפתרון בדרך אלגברית שמערב הנחה לוגית:

נסמן את כמות הכפתורים ב- a, b ,c, כש-a הוא היקר ו-c הזול.

שתי המשוואות: 

a+b+c = 100

10a+3b+c/2 = 100

מכאן:

c = 100-a-b

c = 200-20a-6b

ומכאן:

100-a-b=200-20a-6b

19a+5b = 100

b = 20-19a/5

הנחה: כדי ש- 19a/5 יהיה מספר שלם על a להתחלק ב-5 ולהיות קטן מ- 10 לכן הוא שווה 5. הסבר: מספר הכפתורים ב-10 ש"ח הוא a. אם הוא שווה 10 הרי בוצעה קניה של 10 כפתורים במחיר 10 ש"ח כל אחד וזה לא עונה על תנאי השאלה. הוא גם לא יכול להיות גדול מ-10 כי אז התשלום עובר את ה-100 ש"ח.

ומכאן הפתרון:

a = 5 ; b = 1 ; c = 94